PERTEMUAN 03 NTEGRAL TAK TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

pada tanggal

INTEGRAL TAK TENTU FUNGSI TRIGONOMETRI

Integral Trigonometri

    Sebelum memahami integral tak tentu fungsi trigonometri, terlebih dulu harus diketahui bahwa trigonometri berasal dari kata Yunani, yaitu trigonon : tiga sudut, dan metron : mengukur. Sehingga secara istilah, trigonometri diartikan sebagai sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan tiga sudut segitiga siku-siku. Dari definisi tersebut, maka dapat dijelaskan bahwa fungsi trigonometri merupakan fungsi yang didalamnya terdapat hubungan panjang dan tiga sudut segitiga siku-siku. Fungsi dasar trigonometri dikelompokkan menjadi 6 jenis, yaitu: 

a. sin π‘₯ 

b. cos π‘₯ 

c. tan π‘₯ = sinπ‘₯ cos π‘₯ 

d. sec π‘₯ = 1 cos π‘₯ 

e. cosec π‘₯ = 1 sin π‘₯ 

f. cot π‘₯ = cos π‘₯ sin π‘₯ 


Sudut-Sudut Pada Fungsi Trigonometri
dibagi menjadi 4 kuadran, yaitu:
a.  Kuadran I
    Daerah kuadaran I meliputi daerah yang dibatasi sudut 0ΒΊ ≤ x ≤ 90ΒΊ . Pada kuadran ini sin x dan cos x bernilai positif, sehingga mengakibatkan tan x, sec x, cosec, dan cot x juga bernilai positif. Kuadran I berlaku sifat-sifat berikut. 
1) sin  (90ΒΊ + x) = cos x 
2) cos  (90ΒΊ + x) = sin x 
3) tan  (90ΒΊ + x) = cot x 
4) sec  (90ΒΊ + x) = cosec x 
5) cosec  (90ΒΊ + x) = sec x 
6) cot  (90ΒΊ + x) = tan x         
 
b.  Kuadran II 
    Daerah kuadaran II meliputi daerah yang dibatasi sudut 90ΒΊ ≤ x ≤ 180ΒΊ . Pada kuadran ini sin x bernilai positif, sedangkan cos x bernilai negatif, sehingga mengakibatkan cosec x bernilai positif, tetapi tan x, sec x, dan cot x juga bernilai negatif. Kuadran II berlaku sifat-sifat berikut. 
1) sin (90ΒΊ + x) = cos x 
2) cos (90ΒΊ + x) = -sin x 
3) tan (90ΒΊ + x) = -cot x 
4) sec (90ΒΊ + x) = -cosec x 
5) cosec (90ΒΊ + x) = sec x 
6) cot (90ΒΊ + x) = - tan x 
7) sin (180ΒΊ - x) = sin x 
8) cos (180ΒΊ - x) = -cos x 
9) tan (180ΒΊ - x) = -tan x 
10) sec (180ΒΊ - x) = -sec x 
11) cosec (180ΒΊ - x) = cosec x 
12) cot (180ΒΊ - x) = -cot x 
  
c.  Kuadran III 
    Daerah kuadaran III meliputi daerah yang dibatasi sudut 180ΒΊ ≤ x ≤ 270ΒΊ. Pada kuadran ini sin x dan cos x bernilai negatif, sehingga mengakibatkan cosec x dan sec x bernilai negatif, sedangkan tan x dan cot x bernilai positif. Kuadran III berlaku sifat-sifat berikut. 
1) sin (180ΒΊ + x) = -sin x 
2) cos (180ΒΊ + x) = -cos x 
3) tan (180ΒΊ + x) = tan x 
4) sec (180ΒΊ + x) = -sec x 
5) cosec (180ΒΊ + x) = -cosec x 
6) cot (180ΒΊ + x) = cot x 
7) sin (270ΒΊ - x) = -cos x 
8) cos (270ΒΊ - x) = -sin x 
9) tan (270ΒΊ - x) = cot x 
10) sec (270ΒΊ - x) = -cosec x 
11) cosec (270ΒΊ - x) = -sec x 
12) cot (270ΒΊ - x) = tan x 

d.  Kuadran IV 
    Daerah kuadaran IV meliputi daerah yang dibatasi sudut 270ΒΊ ≤ x ≤ 360ΒΊ . Pada kuadran ini sin x bernilai negatif, sedangkan cos x bernilai positif, sehingga mengakibatkan sec x bernilai positif, sedangkan cosec x, tan x, dan cot x bernilai negatif. Kuadran III berlaku sifat-sifat berikut. 
1) sin (270ΒΊ + x) = -cos x 
2) cos (270ΒΊ + x) = sin x 
3) tan (270ΒΊ + x) = -cot x 
4) sec (270ΒΊ + x) = cosec x 
5) cosec (270ΒΊ + x) = -sec x 
6) cot (270ΒΊ + x) = -tan x 
7) sin (360ΒΊ - x) = -sin x 
8) cos (360ΒΊ - x) = cos x 
9) tan (360ΒΊ - x) = -tan x 
10) sec (360ΒΊ - x) = sec x 
11) cosec (360ΒΊ - x) = -cosec x 
12) cot (360ΒΊ - x) = -cot x
 
Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri 
    Integral tak tentu fungsi trigonometri merupakan “bentuk integral yang integralnya berbentuk fungsi trigonometri dan memiliki variabel integrasi yang tak terbatas”. Karena variabel integrasinya tidak memiliki batasan, maka hasil dari integral tak tentu fungsi trigonometri hanyalah berupa penyelesaian umum yang juga dalam bentuk fungsi trigonometri ditambah dengan tetapan integrasi yang disimbolkan dengan huruf c. Karena fungsi integran (fungsi yang diintegralkan) berbentuk fungsi trigonometri, maka penyelesaiannyapun melibatkan beberapa konsep atau identitas trigonometri.

Rumus Dasar Fungsi Trigonometri 
    Seperti yang sudah dibahas pada bab sebelumnya, bahwa integral adalah operasi balikan dari turunan, maka fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan berpatokan pada hasil dari turunan beberapa fungsi trigonometri. Untuk mempermudah pemahaman tentang rumus dasar fungsi trigonometri, perhatikan tabel di bawah ini :

No.Fungsi f(x) = yTurunan \frac{dy}{dx}Integral
1y = sin xcos x \int \cos x dx= sin x
2y = cos x– sin x\int \sin x dx = – cos x
3y = tan xsec2 x\int \sec^2 x dx = tan x
4y = cot x– csc2 x\int \csc^2 x dx = – cot x
5y = sec xtan x . sec x\int \tan x . \sec x d = sec x
6y = csc x-.cot x . csc x\int \cot x . \csc x dx = – csc x

    Selain rumus dasar diatas, ada rumus lain yang bisa digunakan pada pengoperasian integral trigonometri yaitu:

Fungsi f(x) = yTurunan \frac{dy}{dx}Integral
y = \frac{1}{a} \sin(ax+b)cos (ax + b)\int \cos (ax+b) dx = \frac{1}{a} sin (ax + b) + C
 y = - \frac{1}{a} \cos (ax + b)sin (ax + b)\int \sin (ax+b) dx = -\frac{1}{a} cos (ax + b) + C
y = \frac{1}{a} tan (ax + b)sec2 (ax + b) \int \sec^2(ax+b)dx= \frac{1}{a} tan (ax + b) + C
y = -\frac{1}{a} cot (ax + b)csc2 (ax + b)\int \csc^2(ax+b) dx = - \frac{1}{a} cot (ax + b)
y = -\frac{1}{a} sec (ax + b)tan (ax + b) . sec (ax + b)\int (ax+b) . sec(ax + b) dx= \frac{1}{a} sec (ax + b) + C
y = -\frac{1}{a} csc (ax + b)cot (ax + b) . csc (ax + b)\int cot (ax + b) . csc (ax + b) dx = -\frac{1}{a} csc (ax + b)


Aturan Kelinieran Integral Tak Tentu Fungsi 

    Trigonometri Sama seperti pada integral tak tentu fungsi aljabar, pada integral tak tentu fungsi trigonometri juga berlaku aturan kelinieran. Misalkan diketahui dua fungsi, yaitu fungsi f dan g, dimana kedua fungsi tersebut mempunyai integral, maka berdasarkan aturan kelinearan berlaku sifat sebagai berikut. 

a. ∫ π‘˜ 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = π‘˜ ∫ 𝑓(π‘₯)𝑑π‘₯, π‘˜ = π‘˜π‘œπ‘’π‘“π‘–π‘ π‘–π‘’π‘› 

b. ∫[𝑓(π‘₯) + 𝑔(π‘₯)]𝑑π‘₯ = ∫ 𝑓(π‘₯)𝑑π‘₯ + ∫ 𝑔(π‘₯)𝑑π‘₯ 

c. ∫[𝑓(π‘₯) − 𝑔(π‘₯)]𝑑π‘₯ = ∫ 𝑓(π‘₯)𝑑π‘₯ − ∫ 𝑔(π‘₯)𝑑x

Soal yang ada di modul :


Komentar

Posting Komentar