INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Definisi fungsi rasional

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥) , dimana f(x) dan g(x) adalah fungsi aljabar suku banyak (polinom) dengan syarat derajat polinom pembilang lebih kecil dari penyebut dan g(x) ≠ 0. Fungsi aljabar suku banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan sebagai berikut

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{n}x^{n},\mathrm{n=1,2,3,...}$

Fungsi rasional dibagi menjadi 2 macam, yaitu:

a. Fungsi Rasional Sejati Fungsi rasional sejati adalah fungsi rasional yang derajat polinom pembilangnya lebih besar daripada derajat polinom penyebutnya.

$\mathrm{1)}f(x)=\frac{1-x}{x^{2}-3x+2}$

$\mathrm{2)}f(x)=\frac{x}{x^{2}+x+1}$

b. Fungsi Rasional Tidak Sejati Fungsi rasional tidak sejati adalah fungsi rasional yang derajat polinom pembilangnya lebih besar atau sama dengan derajat polinom penyebutnya.

$\mathrm{1)}f(x)=\frac{x^{2}-2x+4}{x^{2}-1}$

$\mathrm{2)}f(x)=\frac{x^{5}+2x^{3}-x+1}{x^{3}+5x}$

Karena syarat fungsi rasional harus memiliki derajat polinom pembilang lebih kecil dari penyebut, maka untuk fungsi rasional tidak sejati harus diubah menjadi fungsi rasional sejati dengan cara pembagian bersusun. Misal pada contoh no.2 sebagai berikut.

Dengan menggunakan rumus pembagian $H(x)=Hasil+\frac{Sisa}{Pembagi}$ , maka diperoleh:

$f(x)=\frac{x^{5}+2x^{3}-x+1}{x^{3}+5x}=x^{2}-3+\frac{14x+1}{x^{3}+5x}$

Integral Fungsi Rasional

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

a. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

b. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = 𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥) sampai tidak dapat difaktorkan lagi. c. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan integralnya, dengan bentuk sebagai berikut.

$\mathrm{1)}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}}{(ax_{1}+b_{1})}+\frac{A_{2}}{(ax_{2}+b_{2})}+...$ (penyebut kombinasi linier berbeda)

$\mathrm{2)}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}}{(ax+b)}+\frac{A_{2}}{(ax+b)^{2}}+\frac{A_{3}}{(ax+b)^{3}}+...$ (kombinasi linier berulang)

$\mathrm{3)}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}+c_{1})}+\frac{A_{2}x+B_{2}}{(a_{2}x^{2}+b_{2}+c_{2})}+...$ (kombinasi kuadrat berbeda)

d. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta $A_{1},A_{2},...A_{n}$ dan $B_{1},B_{2},...B_{n}$ .

Soal yang ada di modul :

LITTLE WORLD IN MY BRAIN

Cari Blog Ini

PERTEMUAN 11 INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Definisi fungsi rasional

Integral Fungsi Rasional

Komentar

Posting Komentar